Chương này trình làng chuyển đổi z nhưng mà vô cùng có lợi trong phân tích cùng xây dựng hệ thống DSP (hoặc DTSP), y như thay đổi Laplace cho hệ thống giống như (hoặc thường xuyên thời gian).Quý Khách sẽ xem: các bài tập luyện biến hóa z có lời giải

Phân tích Fourier được cải cách và phát triển cho miền tiếp tục thời hạn cơ mà cũng hữu ích mang đến bộc lộ và hệ thống tránh rạc thời hạn.

Bạn đang xem: Biến đổi z trong xử lý tín hiệu số

Ta sẽ thấy chuyển đổi z với biến đổi Fourier contact cùng nhau. Ta chọn để trình bày biến hóa z sau đối chiếu Fourieer như nhiều tác giả không giống vẫn làm cho, nhưng mà theo trơ trẽn từ...
*

1Cmùi hương 4 BIẾN ĐỔI ZChương này ra mắt biến hóa z nhưng mà siêu hữu ích trong so sánh cùng thiết kế hệ thống DSP. (hoặcDTSP), y hệt như chuyển đổi Laplace mang lại khối hệ thống tương tự như (hoặc liên tục thời gian). Phân tích Fourierđược cách tân và phát triển đến miền liên tiếp thời hạn nhưng lại cũng hữu ích cho biểu đạt và hệ thống tránh rốc thờigian. Ta sẽ thấy biến hóa z cùng biến đổi Fourier tương tác cùng nhau. Ta lựa chọn để trình diễn thay đổi z sauso với Fourieer nhỏng các người sáng tác khác đang làm cho, nhưng mà theo đơn côi tự ngược trở lại cũng thường bắt gặp. Chủ đề thiết yếu là: quan niệm thay đổi z, hữu ích song thay đổi, nằm trong tính biến đổi, vẽ rất vàkhông, vùng hội tụ, sự định hình của hệ thống, đổi khác ngược, chuyển đổi z một bên, lọc bậc nhị, đáp ứngchuyến qua và khối hệ thống với điều kiện đầu4.1 BIẾN ĐỔI ZPhần khởi đầu bao hàm nhiều chu đáo khác nhau của đổi khác z. Giống tựa như những đổi khác khác,thay đổi z vận dụng cho tất cả tín hiệu cùng khối hệ thống rời rốc. Ta biết rằng một khối hệ thống được đặc trưng bởipmùi hương trình tín hiệu vào ra, hoặc đáp ứng xung của nó, hoặc đáp ứng nhu cầu tần số. Tóm lại ta đã thấy đặctính máy tư của hệ thống.4.1.1 Định nghĩa: Biến đổi z X(z) của một biểu thị tách rộc thời hạn x(n) được quan niệm như ∞  x (n )z -n X(z) = (4.1) n= 0z là một đổi mới phức của miền biến đổi và có thể xem nlỗi tần số phức (coi hình 4.5). Nhớ rằng chỉ sốn hoàn toàn có thể là thời hạn, không gian hoặc một số sản phẩm công nghệ khác, dẫu vậy hay là thời hạn. Nhỏng định nghĩatrên, X(z) là chuỗi nón nguyên của z 1 tương ứng với hầu như hệ số x(n). Knhì triển X(z) giúp thấy điềunày:   x ( n) z n = x(0) + x(1)z-1 + x(2)z-2 + . . . X(z) = (4.2) n 0 Trong bí quyết (4.1) tổng được đem tự n = 0 đến  , X(z) ko contact với thời gian quá khứx(n). Đây là đổi khác z một b ên. Biến thay đổi z một mặt rất có thể hoàn toàn có thể với điều kiện đầu của x(n) (phần4.7). Nhìn tầm thường, biểu lộ trường tồn tại phần lớn thời hạn, với chuyển đổi z phía hai bên được tư tưởng như: ∞ ∞ x  n  z -n X(z) = n= - 1 2 2 = …x(-2)z + x(-1)z + x(0) + x(1)z + x(2)z + … (4.3) 1Vì X(z) là một trong chuỗi mũ vô hạn của z , thay đổi chỉ trường thọ phần lớn quý hiếm địa điểm chuỗi hội tụ (tiến tớikhông Lúc n   hoặc -  ). Vì vậy biến hóa z liên hệ quan trọng với vùng hội tụ (ROC) nơi nó là hữuhạn (phần 4.4). Để phân minh, ta chú thích X  ( z ) đến chuyển đổi z một bên.lấy ví dụ 4.1.1Tìm biểu diễn toán học của biểu thị vào hình 4.1, sau đó search đổi khác z.Giải (a) Crúc ý bộc lộ là nhân quả và giảm đều , nó có giá trị 0.8 n với n  0. Vì vậy ta viết x(n) = 0.8n u(n)cùng thực hiện thay đổi (4.1) 2   x ( n) z n X(z) = n 0 = 1 + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 +… = 1 + (0.8z–1) + (0.8z–1)2 + (0.8z–1)3 + …Ap dụng công thức chuỗi hình học tập vô hạn (2.8)  1 x , x 3Một phương pháp để tìm biến đổi ngược, bất kỳ khi nào rất có thể, là thực hiện định nghĩa biến hóa z. Pmùi hương pháptổng thể của đổi khác z ngược sẽ được thảo luận trong phần 4.5 với 4.6lấy một ví dụ 4.1.2Tìm biến hóa z ngược của rất nhiều biểu thức sau z (a) X(z) = z  0.8 1 (b) X(z) = z  1.2Giải (a) Lấy khai triển X(z) thực hiện chuỗi hình hoc vô hạn: z 1 X(z) = = z - 0.8 1-0.8 z -1 = 1 + (0.8z–1) + (0.8z–1)2 + (0.8z–1)3 + … = 1 + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 + …Bằng cách đối chiếu từ bỏ yếu tố với từng thành phần trong phương pháp (4.2) ta có x(n) = Hoặc x(n) = 0.8 n u(n) (b) Biểu diễn được đến ko giống hệt như được đổi khác, vì vậy ta viết. z 1 1 1 = z 1 X(z) = = 1  1.2 z 1 1 z  1.2 1  1.2 zKế cho, đem knhị triển X(z) : X(z) = z–1 = 0 + 1.0z–1 – 1.2z–2 + 1.44z–3 – 1.728z–4 + …Vì vậy x(n) = Mà hoàn toàn có thể diễn đạt vào hiệ tượng đóng như sau n 1  x(n) = (–1.2) u(n-1)4.1.3 Đôi biến đổi zBảng 4.1 giới thiệu các song thay đổi z hữu ích, chỗ vòng tròng rã đơn vị chức năng là vòng tròn bao gồm bán kính 1trung khu tạigốc. Tất cả dấu hiệu là nhân quả (mặt phải), bên cạnh hai tín hiệu phi nhân trái (mặt trái). Chụ ý rằng 1một đổi khác hoàn toàn có thể mô tả tương đương nhỏng một hàm z hoặc z , ví dụBảng 4.1 : Đôi thay đổi z thông thường Giảng đồ gia dụng rất -khôngTín hiệu x(n) Biến đổi X(z) ROC j Unit circle 0 -1 1 -j 4Mẫu đơn vị (n) Tất cả z 1Bậc đơn vị chức năng 1 z (  z > 1 ) 1 z 1 1 zu(n)  z z -1 doubleDốc đơn vị chức năng   (z  1 )2   z > 1  ( 1  z -1 )2r(n) = nu(n)  Mũ thực  z 1  -1   z > aan u(n) 1  az  z  a 0 5 1 z anu(n)  X(z) = or (4.7b) 1  az 1 za 1  z 1 cos Ω 0 z(z  cos Ω 0 ) (cosn0)u(n) X(z) = or (4.7c) 1  2 z 1 cos Ω 0  z 2 z  2 z cos Ω 0  1 2Hình thức có tương đối nhiều sự phụ thuộc vào vào mẫu ta muốn làm cùng với thay đổi (xem phần 4.1.6 , 4.3 và 4.6).4.1.4 Biến đổi z cho hệ thốngBiến thay đổi z áp dụng đến biểu lộ tương tự như hệ thống bởi hệ thống được trình bày bằng thỏa mãn nhu cầu xung củanó. Mà nó là hàm gồm chỉ số n giống như biểu hiện. Vì thuộc tính này cơ mà biến đổi z hữu dụng trong phântích và kiến tạo khối hệ thống bởi vì tín hiệu với hệ thống can hệ nhau. điều đặc biệt, chuyển đổi z của đáp ứng nhu cầu xung h(n) là   h( n) z n (Biến đổi 1 bên) H(z) = (4.8) n 0Hoặc   h ( n) z n (Biến thay đổi hai bên) H(z) = (4.9) n  Phụ trực thuộc hệ thống là nhân quả hoặc phi nhân trái. H(z) được điện thoại tư vấn là hàm truyền hoặc hàm hệ thốngVí dụ 4.1.3Một hệ thống tất cả đáp ứng nhu cầu xung h(n) = Tìm hàm truyền.GiảiHệ thống là một trong FIR phi nhân quả. Hàm truyền của nó được mang lại bởi cách làm (4.9):  3  h ( n) z  h ( n) z n n H(z) = = n  2 n   = z 2  2 z 1  3  4 z 1  5z 2  6 z 3Ngược lại, trường hợp biết H(z) nlỗi bên trên ta rất có thể tiện lợi gồm h(n) . 4.1.5 Hàm riêng với trị riêngTa biết trường hợp đáp ứng nhu cầu tần số của một khối hệ thống là H(  ) thì với ngõ vào x(n) = e jn , ngõ ra là y(n) =e jn H(  ) nhỏng vào (3.69b). Vì vấn đề đó , e jn là hàm riêng, và H(  ) là trị riêng của hệ thống. Bây tiếng, với nguồn vào x(n) = zn (4.10)ngõ ra khối hệ thống là      h(k)z  h(k)z nk k y(n) = h(n)  x(n) = = zn     k 0 k 0Trong ngoặc là H(z) , thì y(n) = z n H(z) (4.11) nVì vậy trong miền thay đổi z, z là hàm riêng, với H(z) là trị riêng của hệ thống4.1.6 Hàm truyền giữa những nhân tố của thông số lọctrước hết, với phương trình lọc tổng quát (phương pháp (2.21)) 6 N M  a y (n  k ) +  b x(n  k ) y(n) = (4.12) k k k  M k 1Với a k cùng bk là hầu như hệ số thanh lọc (hằng số). Bây giờ đồng hồ ta vậy x(n) = z n và y(n) = z n H(z) để có M N b z a nk nk n z H (z) + z H(z) = k k k  N k 1Từ phương pháp này ta đúc rút trình diễn của H(z) mang đến lọc đệ qui, tác dụng là M bz k k k  M (lọc đệ qui) H(z) = (4.13a) N 1   ak z k k 1Với lọc ko đệ qui, mẫu mã bởi 1, vày vậy M bz k H ( z)  (thanh lọc ko đệ qui) (4.13b) k k  MNó thì số đông chú ý rằng hàm truyền trên gồm tác dụng từ phương pháp lọc (4.12) . Một số tác gải viếtcách làm làm việc dạng khác (ví dụ, tất cả yếu tố y sinh hoạt phía trái của công thức), điều đó dẫn đến sự biểudiễn không giống của H(z) . Ý tưởng ở đấy là lúc công thức thanh lọc được mang lại, ta thu thập hầu như thông số của chính nó để tại vị vào sựtrình diễn của H(z) nhưng mà không đề xuất đem biến đổi z. Ngược lại, ví như biết H(z) thì ta biết đều thông số lọc.lấy ví dụ như 4.1.4Cho 2 z 2  3z (a) H(z) = z 2  0.5 z  0.8 -trăng tròn z 2  5 z (b) H(z) = 10 z 3  5 z 2 -8 z  1Tìm phương trình bộc lộ.Giải 1 2 (a) Viết H(z) nlỗi hàm của z bằng cách nhân tử số với mẫu số cùng với z : 1 1 2  3z 2-3z  H(z) = 1 2 1  (0.5 z 1  0.8 z 2 ) 1  0.5 z  0.8 zNhững thông số là b0 = 2 b 1 = -3 a1 = -0.5 a2 = 0.8Vì vậy bí quyết lọc là y(n) = -0.5y(n-1) – 0.8y(n-2) + 2x(n) - 3x(n-1) 3 3 (b) Nhân tử số cùng mẫu số cùng với 0.1 z để gia công 10z làm việc mẫu mã bởi 1  2 z 1  5 z 2 H(z) = 1  0.5 z 1  0.8 z 2  0.1z 3Thu thập đều hệ số: b1 = -2 b2 = 5 a1 = -0.5 a2 = 0.8 a3 = _0.1Vì vậy công thức thanh lọc là 7  y(n) = -0.5y(n-1) + 0.8y(n-2) + 0.1y(n-3) -2x(n-1) + 5x(n-2)4.2 NHỮNG THUỘC TÍNH CỦA BIẾN ĐỔI ZTrong chương này những thuộc tính (một vài có thể xem nlỗi định lý) của đổi khác z phía hai bên được trìnhbày. - Tuyến tính - Dịch thời gian - Nhân chập thời hạn - Liên hệ cùng với biến đổi Fourier rời rốc thời hạn (DTFT) - KhácKhông nên tất cả hầu hết thuộc tính trên được coi như xét chi tiết . Về sau đôi biến đổi z được phát âm nhỏng x(n)  X(z).4.2.1 Tuyến tínhTuyến tính hoàn toàn có thể diễn đạt như a1x1(n) + a2x2(n)  a1X1(z) + a2X2(z) (4.14)Với a1 , a 2 là hằng số. Hình thức tương đương nhau vận dụng mang đến các tín hiệu. Vì vậy tuyến tính nghĩa kếtnối đường tính của ngõ vào đưa ra kết nối tuyến tính ngõ ra. Với biến hóa z với các biến đổi không giống tuyến đường tính là thu ộc tính cơ phiên bản cùng quan trọng. Nó chophép ta search chuyển đổi cùng thay đổi ngược Lúc sống đây là sự liên kết của không ít yếu tố.Ví dụ 4.2.1Tìm biến đổi z của biểu đạt cosin nhân quả x(n) = (cosn 0 ) u(n)GiảiBiểu diễn x(n) ngơi nghỉ dạng phần đa nguyên tố của nón phức: 1 jnω0 1 e u(n) + e  jnω0 u(n) x(n) = (cosn 0 ) u(n) = 2 2thì 1 1 Z + Z X(z) = 2 2Biến đổi từng yếu tắc 1 e jn0 u(n)    1  e jω0 z 1 1 e  jn0 u(n)     jω0 1 1 e zVì vậy 1 1 1 1 X( z )    jω0 1 jω0 1 2 1 e z 2 1 e z 1  z 1 cos ω 0   1  2z 1 cos ω 0  z 24.2.2 Dịch thời gianĐầu tiên coi đổi khác z của mẫu mã đơn vị chức năng (cũng chính là xung đối kháng vị) (n) với xung trễ của nó (n-n0): 8    δ(n)z n = z n X(z) = =1 z 0 n 0    δ(n  n ) z  n0 n = z n =z X(z) = z  n0 0 n 0 nVì trễ của n 0 mẫu tương ứng cùng với quá số z 0 của trình diễn đổi khác. Bằng sự biểu diễn biểu hiện x (n)vào đông đảo thành phần của mẫu mã đơn vị chức năng với vận dụng tính đường tính ta bao gồm hiệu quả bao quát  n0 x(n – n0)  X(z) z (trễ thời gian) (4.15a)  n0 x(n + n0)  X(z) z (Trước thời gian) (4.15b) 1Vì điều đó, ta thực hiện chú giải z đến trễ đơn vị chức năng với z cho đến trước đơn vị chức năng trong giảng thứ khối hận củakhối hệ thống (phần 1.4.2).ví dụ như 4.2.2:Mẫu đơn vị chức năng là sự việc trừ nó với mẫu mã lờ đờ một đơn vị chức năng u(n) – u(n-1) = (n)Tìm biến hóa z (a) Bậc đơn vị chức năng nhân quả x(n) = u(n) (b) Bậc đơn vị chức năng phi nhân quả x(n) = -u(-n-1)Nhớ rằng u(n) cũng khá được hotline là biểu đạt bên nên, với -u(-n-1) hoặc u(-n-1) dấu hiệu phía trái, vào khiđó một biểu thị mãi mãi cả phía 2 bên âm và dương được Gọi là dấu hiệu hai bên (1.62).Giải (a) Ta viết x(n) – x(n-1) = u(n) – u(n-1) = (n)Lấy biến hóa z phía 2 bên, thực hiện ở trong tính dịch thời gian X(z) – z–1 X(z) = 1Hoặc 1 z X(z) = = 1 z 1 1 z u(n) 1 ... 0 2 n -2 3 -1 ° ° 1 -u(-n -1) ° ... ° n -3 -2 -1 2 1 0 -1 Hình. 4.2: Ví dụ 4.2.2 (b) Với bộc lộ phi nhân quả ta viết 9 x(n) – x(n-1) = -u(-n-1) + u = u(-n) – u(-n-1) = (-n)Nhớ rằng (-n) là (n) (coi 1.4.1), vày vậy biến hóa phía 2 bên đến vày X(z) – z–1 X(z) = 1Hoặc 1 z X(z) = = 1 z 1 1 zChụ ý rằng nhị biểu thị (a) cùng (b) có trình diễn không giống nhau trong miền thời hạn cũng giống như vào miềntần số nhưng bọn chúng kiểu như nhau vào đổi khác z. Tuy nhiên nhị chuyển đổi gồm vùng quy tụ khác nhau(coi 4.4).lấy một ví dụ 4.2.3Tìm chuyển đổi z của xung chữ nhật nhân trái có N mẫu p(n) = 1 , 0 n  N-1 0 , không giống p(n) 1 … 1 2 3 -2 n -1 N-1 N 0 N+1 Hình. 4.3:lấy một ví dụ 4.2.3GiảiTa rất có thể vận dụng trực tiếp có mang (4.1) nhằm tìm thay đổi, Mặc không giống ta viết xung chữ nhật dướidạng p(n) = u(n) – u(n – N)Lấy biến đổi, sử dụng ở trong tính trễ: P(z) = Z – Z = Z – z–NZ = (1 – z–N) Z 1  z N  = 1  z 14.2.3 Nhân chập thời gianNhỏng biến đổi Fourier, ở trong tính táo bạo với đặc biệt quan trọng độc nhất vô nhị (định lý) của chuyển đổi z mang lại tinh tế ứngdụng là nhân chập thời gian, được phát biểu như: Nhân chập của hai hàm thời hạn tương xứng vớinhân thường trong miền thay đổi z. x1(n)  x2(n)  X1(z) X2(z) (4.16)Nhỏng thường thì, nhân chập là công dụng ngõ ra lúc nhân chập biểu thị vào x(n) cùng với đáp ứng nhu cầu xung củahệ thống h(n). x(n)  h(n)  X(z) H(z) (4.17)Với H(z) là hàm truyền. Sự hội tụ này được minh họa trong hình 4.4. Tín hiệu ngõ ra trong miền thờigian được mang lại do 10 Tín hiệu vào Tín hiệu ra Hệ thống y(n) = x(n)  h(n) h(n) Miền thời gian: x(n)  (Nhân chập) z Z Z Miền z : X(z) H(z) Y(z) = X(z) H(z) Hình. 4.4: Sơ vật đưa miền thời gian quý phái miền z với ở trong tính nhân chập thời gian. y(n) = x(n)  h(n)và miền z bằng Y(z) = X(z) H(z)Từ điều đó Y ( z) H(z) = (4.18) X ( z)Vì vậy hàm truyền (hoặc hàm hệ thống) của một hệ thống là tỉ số của biến đổi z của ngõ ra với biếnđổi z ngõ vào. Điểm này cho ta ra quyết định hàm hệ thống và chuyển đổi ngược, đáp ứng xung.Chứng minh:Thuộc tính nhân chập được minc họa nhỏng sau: Trước tiên ta viết   x (k)x (n  k) x(n) = x1(n)  x2(n) = 1 2 k  Lấy biến hóa z      x(z)z n =  k x1(k)x2(n  k) z nX(z) = n       n  Txuất xắc đổi cô quạnh tự của tổng cùng thực hiện thuộc tính trễ thời gian:      x (k )   x (n  k ) z  n  X(z) = 1 2   k   n     x (k ) z k = X2(z) = X2(z) X1(z) = X1(z) X2(z) 1 k  lấy một ví dụ 4.2.4Áp một chuỗi nguồn vào x(n) = mang đến khối hệ thống gồm đáp ứng xung là h(n) = Tìm tín hiệu ngõ ra.GiảiLấy thay đổi z của x(n) cùng h(n) : X(z) = 1 + 2z–1 - z–2 - 2z–3 + z–4 + 2z–5 H(z) = 0 + z–1 + 2z–2Biến thay đổi ngõ ra là Y(z) = H(z) X(z) 11 = z–1 + 4z–2 + 3z–3 - 4z–4 - 3z–5 + 4z–6 + 4z–7Những hệ thống X(z) cấu thành dấu hiệu y(n) y(n) = Nếu ta nhân chập x(n) với h(n), e.g. bằng cách thức hình học tập (phần 2.2.2), ta bao gồm cùng kết quả.lấy ví dụ 4.2.5Để tư tưởng một hệ thống DSP.. chưa chắc chắn (tất cả Hartware với phần mềm), ta áp một dấu hiệu x(n) vàđem ngõ ra y(n) nhỏng sau: x(n)  y(n)  Tìm đáp ứng xung. Đây là vụ việc về định nghĩa hệ thốngGiảilấy ví dụ như này y hệt như ví dụ 2.3.5 mà lại ta tính nó vào miền thời gian.Ở trên đây sử dụng chuyển đổi z, ta tất cả X ( z )  1  2 z 1  z 2  2 z 3  z 4  2 z 5 Y ( z )  z 1  4 z 2  z 3  4 z 4  3z 5  4 z 6  4 z 7Vì vậy hàm truyền là z 1  4 z 2  z 3  4 z 4  3z 5  4 z 6  4 z 7 H ( z)  1  2 z 1  z 2  2 z 3  z 4  2 z 5Mà rất có thể đơn giản H ( z )  z 1  2 z 2Hệ thống ổn định (coi phần 4.4). Đáp ứng xung là chuyển đổi ngược h(n)  4.2.4 Một số nằm trong tính khácỞ đây có tương đối nhiều ở trong tính của đổi khác z, sau đó là một trong những nằm trong tính. (a) Đảo thời gian x(-n)  X(z–1) (4.19)Chứng minh:    x (  n) z  x(k )( z n 1 k ) = X(z–1) Z = = n   k  lấy một ví dụ 1 1 u(n)   u(-n)  1  z 1 1 z (b) Tỉ lệ cùng với mũ tách rộc X(a–1z) anx(n)  (4.20)Chứng minh:    a n x ( n) z  n =  x ( n) ( a 1 z ) n = X(a–1z) Z = n   n  lấy ví dụ biết chuyển đổi của (cos  0n)u(n) hoàn toàn có thể dễ dàng tìm kiếm biến hóa an(cos  0n) u(n) (bảng 4.1). (c) Nhân thời hạn 12Ta có trực thuộc tính này với chuyển đổi Fourier cơ mà mô tả trong miền z là tích phân so với nhân chập: 1 z 1 C X 1 (ν ) X 2 ( ν )ν dν x1(n) x2(n)  (4.21) 2π jVới C là tích phân vòng quanh gốc cùng ở bên trong vùng hội tụ của X1 cùng X2 . (d) Vi phân vào miền z dX(z) nx(n)   z (4.22) dzChứng minh:Lấy vi phân cả 2 bên của có mang (4.3), ta gồm   dX ( z )   x(n) (-n)z  n1 = -z 1  z n dz n   n   =  z 1 Z Là hiệ tượng khác của nằm trong tính được nhắc đến ở trên. lấy một ví dụ tìm biến đổi z của biểu đạt X(n) = na n u(n)Ta Call x 1 (n) = a n u(n)Biến đổi z của x 1 (n) (bảng 4.1) là một trong những X 1 (z) = 1  az 1Vì vậy az 1 dX 1 ( z ) X(z) =  z = (1  az 1 ) 2 dz (e) Liên hiệp phức x * (n) ↔ ( X ( z * ))* (4.23) (f) Giá trị đầu x(0) = lyên X(z) (4.24) z Ý nghĩa của nằm trong tính này là giả dụ ta biết X(z) cùng ước ao tìm kiếm x(0) thì ta ko đề xuất mang thay đổi z ngược. (g) Giá trị cuối llặng x(n) = lim(( z  1) X ( z )) (4.25a) n z 1Ý nghĩa của thuộc tính này thì giống hệt như trên tuy nhiên trường phù hợp này ta biết giá trị cuối của x(n).Một áp dụng của trực thuộc tính này là tìm thỏa mãn nhu cầu tinh thần định hình (phần ….) của khối hệ thống với đầuvào là 1 bậc đơn vị. Biến đổi z của bậc đơn vị chức năng (bảng 4.1) được mang đến bởiVì vậy đáp ứng nhu cầu trạng thái bình ổn của hệ thống H(z) ứng với cùng 1 bậc đơn vị nghỉ ngơi ngõ vào được cho vày (4.25b) 13lúc ráng z bằng vào H(z) ta sẽ sở hữu thỏa mãn nhu cầu tần số H(ω). Vì vậy z = 1 ứng cùng với ω = 0, với đápứng H(ω) là đáp ứng tần số tại không (DC). Trong ví dụ…, phương thơm trình hệ thống là y(n) = 0.8y(n – 1) + x(n)cùng thỏa mãn nhu cầu bậc kiếm được có dạngVới 5.0 là cực hiếm bất biến sau cuối. Không đi từ bỏ phương trình dấu hiệu mang lại bên trên, hàm truyền của nóhoàn toàn có thể được search thấyVì vậy quý hiếm cuối của đáp ứng nhu cầu bậc trường đoản cú (4.25b) làNlỗi ước muốn Crúc ý giới hạn (4.25b) chỉ tôn trên ví như ROC của (z - 1)H(z) bao gồm mặt đường tròn đối chọi vịcircle.4.2.5 Liên hệ với đổi khác Fourier rời rộc rạc thời gian (DTFT)Tương ứng cùng với tín hiệu và hệ thống rời rộc rạc thời hạn, biến đổi z contact với đổi khác Fourier thuộc cáchnhỏng biến đổi Laplace liên hệ cùng với chuyển đổi Fourier với hệ thống và bộc lộ liên tụ c. Để làm vấn đề này tachũm z = ej  (4.26)vào khái niệm (4.3) của biến đổi z với có   x(n)e  jn X(  ) = (tín hiệu) n     h(n)e  jn H(  ) = (hệ thống) n -  Im(z) j  = mặt phẳng z 2 z = ej  1 =0   = -1 1  = - Re(z) 0 Đường tròn   =- -j đơn vị chức năng 2 Hình.4.5: Dọc theo mặt đường tròn đơn vị, thay đổi z là biến hóa FourierVới biến đổi Fourier ta biết (3.39) với (3.60)). Nhớ rằng cả X(  ) và H(  ) là tuần trả với chu kỳ2 .

Xem thêm: Hướng Dẫn Sử Dụng Bluestacks 2 Tốt Nhất Trên Máy Tính Hiện Nay

Ta kết luận H(  ) = H  z  jω  z = e (4.27)Sự contact thân X(  ) và X(z) là kiểu như nhau Biên độ và trộn của z tương ứng cùng với  là 14 z = ej   = 1 z = ej   = Vì vậy biến đổi Fourier là đổi khác z Khi z ở trê tuyến phố tròn đơn vị (hình 4.5). Lúc z dịch chuyển dọctheo mặt đường tròn này tần số  biến đổi theo. Như vậyX(  ) và H(  ) có chu kỳ luân hồi 2, ta xem bọn chúng chỉtuần hòan trong chu kỳ 2  , thường xuyên trong khoảng or .4.3 GIẢNG ĐỒ CỰC KHÔNGBiến đổi z của biểu lộ cùng hệ thống thực LTI (LSI) là hàm tỉ sổ hai nhiều thức c ủa z, ta viết N ( z) X(z) or H(z) = D( z )Với N(z) là đa thức tử cùng D(z) nhiều thức mẫu mã. Sau đây ta viết X(z) hoặc H(z) hoán thay đổi nhau, nước ngoài trừLúc tsi chiếu mang đến bộc lộ với khối hệ thống quan trọng đặc biệt .4.3.1 Giản đồ dùng cực-ko và Điểm lưu ý tín hiệuLấy z1, z2, z3 … là nghiệm của N(z), với p1, p2, p3 … là nghiệm của D(z), kế tiếp biến đổi z rất có thể đặttrong vẻ ngoài L z  z k   N(z) G ( z  z1 )( z  z 2 )( z  z 3 )... z-z L   G k 1 H(z) = = (4.28) D(z) ( z  p1 )( z  p 2 )( z  p3 )... z-pM  M  z-p  k k 1Với G là thừa số độ lợi; z1, z2, z3 … là đông đảo zero nhưng tạo nên H(z) tiến tới zero; và p1, p2, p3 … là cựccơ mà tạo nên H(z) tiến tời vô cực, L là bậc của tử số, M lầ bậc của mẫu số. H(z) là 1 trong những đa thức thíchđúng theo Lúc L  M (bậc j tử số nhỏ dại hơn bậc của mẫu số). của Im ( z ) -1 z-plane Unit circle 0 1 1Double pole R e ( z) -j (b) r(n) (a) u(n) a 1 1 Hình .4.6: Giản đồ dùng cực-không của một số trong những hệ thống đơn(d) giản (n) (c) –an u(-n-1) Trên là phần đa cực-không hữu hạn. Bên canh đó, Lúc biến đổi z vào mẫu mã số tiến cho tới vô hạn,X(z) tiến tới không, đấy là một ko vô hạn. Giống những điều đó, khi z vào tử số tiến cho tới vô hạn, X(z)tiến cho tới vô hạn, đây là một rất vô hạn. lúc bậc M của tử số nhỏ dại hơn bậc N củ a mẫu số, ở đây đã làmột ko vô hạn của bậc M-N, và Lúc M > N ở chỗ này đã là 1 trong những cực vô hạn của bậc M – N. Với hầuhết ngôi trường thích hợp ta bở qua rất cùng không vô hạn. Phân pân hận của rất với ko của X(z) trong phương diện phẳng z là giản vật dụng cực-không. Fig.4.6 showsthe pole – zero plot for sereval simple signals. Notice the unit sample (n) is very special in that it isthe only function which doesn’t have any pole and zero . 15 Giản vật dụng cực-ko thì vô cùng bổ ích trong so sánh cùng xây dựng khối hệ thống thanh lọc số. Hình 4.7 chỉmối contact giản vật dụng cực-ko và công năng của khối hệ thống (hoặc tín hiệu). Thật sự chỉ địa điểm cực ảnhtận hưởng mang lại điểm sáng của biểu thị. ... ... n n 1 0 1 0 Convergent Convergent (stable) (stable) x(n) x(n) ... ... n n 1 0 1 0 Oscillatory oscillatory (Marginally Stable) (Marginally Stable) x(n) x(n) ... ... n n 1 0 1 0 Divergent Divergent (Unstable) (Unstable) Hình. 4.7: Liên hệ giữa địa điểm rất cùng tính năng của b(n) = anu(n) cùng với mọi giá trị không giống nhau của a. Khi dấu hiệu x(n) hoặc thỏa mãn nhu cầu xung h(n) có mức giá trị thực, hồ hết rất và ko là thựchoặc mở ra vào song phối hợp phức.lấy ví dụ 4.3.1Tìm giản vật dụng cực-ko của hệ thống khớp ứng cùng với hàm truyền. z 2  z 3 H(z) = 1  3.6z 1  4.59z 2  2.38z 3  0.39z 4Giải 4Nhân cả tử và mẫu vì z , ta có z2  z N ( z)  H(z) = z  3.6 z  4.59 z  2.38 z  0.39 D( z ) 4 3 2Thừa số tử và mẫu: N(z) = z(z+1) D( z )  ( z  1) 2 ( z 2  1.6 z  0.39)Vì vậy hầu hết không của hệ thống là  z(z+1) = 0 z = 0, z = -1và gần như cực là (z–1)2(z2 – 1.6z + 0.39) = 0  z = 1(kép), z = 0.8 + j0.5 , z = 0.8 – j0.5Hình. 4.8 là giản trang bị rất –không của khối hệ thống. 16 Im(z) Unit circle 0.5 1 (double) -1 0 0,8 Re(z) –0.5 Hình. 4.8: lấy một ví dụ 4.3.3(giản vật cực-không) Chụ ý rằng cùng với mục đích kiếm tìm rất với không ta trở thành hàm H(z) của z 1 thành hàm của z. 4.3.2 Vẽ biên độ của X(z) , H(z)Đây là phần đông hàm vào Matlab cơ mà có thể chấp nhận được ta vẽ biên độ |X(z)| or | H(z)| trong không khí cha chiềutương ứng cùng với trục thực và ảo z. Hình 4.9 là một |H(z)| Im(z) Unit circle Re(z) Hình 4.9: Vẽ biên độ của H ( z )  ( z  1) /( z  1)Ví dụ về vẽ đều chiều z của hàm truyền bao gồm một rất với một không.4.3.3 Cực với ko tại gốcCực và không tại gốc của một khối hệ thống ko ảnh hưởng mang lại đáp ứng nhu cầu mặt độ và pha cơ mà ảnhhưởng đến thời gian đáp ứng nhu cầu của nó, tức là, đáp ứng mang đến nhanh chóng tuyệt muộn so với thời gian khi áp tínhiệu vào. Đặc biệt, một không đã chậm rãi một đơn vị thời gian, trở lại một cực tại cội đang tăng đápứng một đơn vị chức năng thời hạn. Ta tự do thoải mái cộng thêm rất và không tới khối hệ thống, bằng cách cùng hầu hết thừasố phù hợp vào tử và chủng loại đề thỏa mãn nhu cầu hệ thống tức thì lập tức hoặc khối hệ thống đổi mới nhân trái. lấy một ví dụ, xét hàm truyền 1 H(z) = z(z  1 ) (z  2 )Có ba rất tại z = 0,1 và 2 . Phương thơm trình dấu hiệu hoàn toàn có thể được tra cứu như thể 17 y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n-3)nhưng mà chỉ rằng ngõ ra biểu hiện dựa vào ngõ vào biểu hiện tại 3 thời điểm trước đố. Để khối hệ thống đáp ứngngay lập tức chớp nhoáng, ta thêm vào đó 3 đơn vị thời hạn bởi 3 không tại gốc. Hàm truyền biến hóa. z3 H(z) = z(z  1 ) ( 2 z  1 )Tương ứng với phương trình bộc lộ y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n)Vì vậy, với cùng một khối hệ thống đáp ứng nhu cầu tức thì lập tức cùng với ngõ vào, hàm truyền bắt buộc có số rất và khôngđều nhau, hoặc bậc của tử với chủng loại trong nhiều thức cần bằng nhau.4.3.4 Hủy cực-khôngTrong nhiều thức của biến đổi z giả dụ một ko hủy một rất, đôi cực-không này là diệt lẫn nhau. Vì vậygiảm bậc của đa thức, cùng sự dễ dàng và đơn giản theo sau pmùi hương trình bộc lộ. Kỹ thuật diệt rất –không thỉnh thoảng được sử dụng vào cách xử trí biểu đạt số với xây cất hệthống tinh chỉnh và điều khiển. Ngõ ra là 1 trong những sự can dự thân ngõ vào và hệ thống, vị vậy ta rất có thể chọn hệ thốngnhằm hủy cực với ko của dấu hiệu vào. Hủy cực -ko có thể lộ diện cùng với khối hệ thống. Vấn đề là khidiệt rất ko còn nếu như không hoàn toàn sẽ sở hữu hiệu ứng chiều nhiều năm từ hữu hạn, và đông đảo nguyên do khác, hệthống được thiết kế với trlàm việc phải bất ổn định.ví dụ như 4.3.2Cho hệ thống y(n) = 2.5y(n – 1) – y(n – 2) + x(n) – 5x(n – 1) + 6x(n – 2)vận dụng điều kiện hủy rất –ko. Tìm thỏa mãn nhu cầu xung của hệ thống được rút ít gọn.GiảiSử dụng tính năng trì hoãn của chuyển đổi z vào phương trình hệ thống vào ra trênSắp xếp lại:Để tất cả hàm truyền:Vì vậy cực trên p = 2 và ko tại z = 2 có thể bỏ bỏ cho nhau, tác dụng sinh ra một thanh lọc bậc thấprộng bao gồm pmùi hương trình dạng Để tra cứu đáp ứng nhu cầu xung ta knhị triển H(z)Biến thay đổi z ngược ta bao gồm đáp ứng nhu cầu xung:Ta rất có thể tìm kiếm đáp ứng xung tự phương trình tín hiệu dẫu vậy ta sử dụng cách không giống mô tả đáp ứng nhu cầu xung gần quả như bề ngoài sống trên.lấy một ví dụ 3.4.3Tìm thỏa mãn nhu cầu của hệ thốngVới ngõ vào 18GiảiSử dụng đổi khác z như ví dụ trên ta bao gồm hàm đổi thay đổiChụ ý hệ thống thì ổn định. Biến đổi z của biểu lộ vào làChụ ý X(z) tất cả một không trên trùng khớp cùng với rất của H(z), vày vậy lộ diện sự hủycực-ko vào biểu thức ngõ ra:Biến thay đổi z hòn đảo choVới hàm truyền khác, sự diệt cực ko sẽ không còn xảy ra và bộc lộ ngõ ra sẽ sở hữu được cùng thành phầncùng.4.3.5 Tìm đáp ứng tần số bởi phƣơng pháp hình họcTa hiểu được biến hóa z Lúc z giới hạn trong tầm tròn đơn vị là DTFT. Vì vậy thỏa mãn nhu cầu tần số, gồm thểtính giao động bằng phương thức hình học tập. Xem ví dụ đơn giản và dễ dàng, bao gồm hàm truyền. z  0.8 H(z) = z  0.8Có một ko trên z = 0.8 và một rất trên p = -0.8 . Với thỏa mãn nhu cầu tần số ta nạm z = ej  : e jω  0.8 H(  ) = e jω  0.8Tử số trình bày vector Z từ bỏ z bằng ko đến điểm z = ej  trên vòng tròn đơn vị, cùng mẫu mã số bằngvector Phường từ bỏ cực Phường. cho thuộc điểm z (hình 4.10). Ta chú thích  mang đến cội trộn. Vì vậy Z Z Z Z H (ω) =   ( Z  P) (4.29) Phường. Phường P. Phường H(  ) Im(z) . z = ej  10 (  ) 8 P 1 Z 6 Z ω P p 0 z Re(z) 4 -(0.8) (0.8) 2 1 1/9   - -/2 0 /2 (b) 19 (a) Hình. 4.10: Đáp ứng tần số bởi phương thức hình họcCrúc ý rằng đáp ứng trộn là cội quan sát từ điểm z trên vòng tròn đơn vị đến rất p cùng z bởi 0.Đáp ứng biên độ cùng trộn khớp ứng. Z H(  ) = P.. (  ) =  (Z – P)Xem một vài ba trường phù hợp đặc biệt với việc tính toán là đơn giản dễ dàng 1  0,8 1  Tại  = 0: H(0) = H(0) = 0 – 0 = 0 rad = , 1  0,8 9 1  0,8  Tại  = : H() = H() =  –  = 0 rad =9 , 1  0,8 π π π π  Tại  = : H( ) = 1  H( )  rad , 2 2 2 2Ta dịch chuyển điểm z dọc theo vòng tròn đơn vị chức năng, trên địa chỉ được lựa chọn, ta tính cùng đo chiều lâu năm tương ứngvà nơi bắt đầu pha. Kết trái đáp ứng nhu cầu biên độ chỉ vào hình 4.10b. Để gồm đáp ứng nhu cầu đúng chuẩn rộng, ta nên ít nhấtmột cực hiếm khác tại   3 4 . Lúc hàm truyền có tương đối nhiều rất với không, đáp ứng nhu cầu là Z1 Z 2 Z 3  H(  ) = (4.30a) P1 P2 P3  (  ) =  (4.30b) 1 Dù phương thức hình học chỉ dao động, nó cho phép ta ước tính nhanh chóng công dụng thiết kếtvới sau đó triển khai thêm/bỏ rất cùng không để có được hệ thống may mắn.4.4 VÙNG HỘI TỤ (ROC), SỰ ỔN ĐỊNHChuỗi có mang thay đổi z (4.3) hoàn toàn có thể phân kỳ và tư tưởng biến hóa bất nghĩa. Vùng hội tụ (ROC)là vùng vị trí biến đổi z X(z) hoặc H(z) hội tụ. ROC mang lại ta ra quyết định thuộc tính chuyển đổi z ngƣợc . Thứ nhất xét một trong những ví dụ Mẫu đơn vị (n) tất cả biến đổi z là 1, bởi vì vậy ROC là cục bộ phương diện phẳng z  Tín hiệu (n+k) với k>0 có biến đổi z là zk , vày vậy ROC là tất cả phương diện phẳng z, nước ngoài từ bỏ tại z =  . Tín hiệu x(n) = bao gồm thay đổi z  X(z) = 1 + 2z-1 + 3z-2 + 4z-3 + 5z-5 ROC là tổng thể phương diện phẳng z xung quanh tại điểm z=0 (gốc). Tín hiệu h(n) = có thay đổi z  H(z) = z2 + 2z + 3 + 4z-1 + 5z-2 ROC là toàn bộ mặt phẳng z ngoài tại z = 0 và z =  204.4.1 ROC của khối hệ thống nhân trái với không nhân quảBây giờ ta xem ROC của nhì biểu lộ cơ bản: nhân trái cùng không nhân trái.Tín hiệu nhân quảXét ví dụ, x(n) = 0.8nu(n) = 1 , 0.8 , 0.82 , 0.83 , …    (0.8z  1 n 0.8n u (n) z  n = ) X(z) = n 0 n  1 0.8 z 1  1 = , 1  0.8 z 1Trên, thực hiện công thức chuỗi hình học tập (2.8). Điều kiện 0.8z-1 0.8 . Vì vậyROC là tất cả khu vực quanh đó vòng tròn bán kính 0.8. (Hình 4.11a). Chụ ý rằng đổi khác bao gồm ko trên gốcvới cực trên z=0.8. (b) Tín hiệu phi nhân quả.Xét ví dụ x(n) = -0.8nu(-n-1) 1    0.8 z n . =   n =   n  1 X(z) =  n n 0 n   n 1Lấy tổng, ta có 1 1 0.8 1 z  1 X(z) =  1  , 1 1  0.8 z 1 1  0.8 zĐiều kiện 0.8-1z a Nhân quả anu(n) , (4.31) 1  az 1 (Bên phải) 1  ROC:  z
Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *